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材料力學(xué)之圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力

橫截面為圓形的直桿受扭時的應(yīng)力,需要綜合研究幾何、物理和靜力等三方面的關(guān)系。以下是我們研究的一個思路。

確定橫截面上切應(yīng)力的方法與過程


一、變形幾何關(guān)系


在軸表面作圓周線和縱向線,在扭轉(zhuǎn)力偶矩作用下,圓周線長度形狀不變,各圓周線間距離不變,只是繞軸線轉(zhuǎn)了一個微小角度;縱向平行線仍然保持為直線且相互平行,只是傾斜了一個微小角度。變形如圖所示。

圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè):圓軸扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面,變形后仍保持平面,形狀和大小不變,半徑仍保持直線,且相鄰兩截面間的距離不變。


二、物理關(guān)系


這里需要注意,一定要在線彈性范圍內(nèi)。接下來研究用到了切變模量、切應(yīng)力互等定理、剪切胡克定律等知識。


1、變形協(xié)調(diào)方程推導(dǎo)應(yīng)變、應(yīng)力分布規(guī)律


設(shè)到軸線任意遠(yuǎn)ρ 處的剪應(yīng)變?yōu)?em style="max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; overflow-wrap: break-word;">γ(ρ),則有如下幾何關(guān)系:

式中,/dx 為扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。

距圓心為ρ 任一點處的γρτρ 與到圓心的距離ρ 成正比。


2、物性關(guān)系——剪力胡克定律


至此,我們已經(jīng)求出了切應(yīng)力的表達(dá)式,但是扭轉(zhuǎn)角沿長度方向的變化率還不知道。這就需要靜力學(xué)方程來解決了。


三、列靜力學(xué)方程


微分面積:

dA 上的微內(nèi)力對圓心的力矩:

對上式進(jìn)行積分(扭矩定義):

橫截面上的扭矩應(yīng)與截面一側(cè)的外力偶距相平衡

我們引入一個極慣性矩

式中,I為橫截面對形心的極慣性矩(截面二次極矩,單位為m4)。

在圓截面邊緣上有最大切應(yīng)力:

抗扭截面系數(shù)(單位:m3)

公式適用條件:


  • 圓桿;


  • τmaxτp


其中極慣性矩和抗扭截面系數(shù),在實心軸與非實心軸中的計算是不一樣的。


  • 在實心軸的情況下:

其中,為圓截面直徑。

以上就是完整的求圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力的方法和過程了!


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